课程主题
泛函分析与算子理论
Banach 与 Hilbert 空间、有界及紧算子、对偶和谱理论。
01
课程章节
按难度与先修关系排列
- 01难度 5/5Hahn–Banach、开映射与一致有界原理使用 Hahn–Banach 延拓连续线性泛函，并由 Baire 范畴方法理解一致有界、开映射和闭图定理的完备性假设。先修：赋范空间、Banach 空间与有界算子 · 证明方法
- 02难度 5/5谱、预解式与谱定理以算子可逆性定义谱和预解式，区分点谱，并用紧自伴谱定理得到正交特征向量展开。先修：紧算子与自伴算子 · 特征值与特征向量
- 03难度 5/5赋范空间、Banach 空间与有界算子以范数和完备性定义 Banach 空间，比较序列与函数空间，并用算子范数刻画线性算子的连续性。先修：实数完备性、紧致性与连续性 · Lp 空间、乘积测度与 Fubini 定理
- 04难度 5/5Hilbert 空间、正交投影与对偶在完备内积空间中建立正交投影、最佳逼近、正交规范基和 Riesz 表示定理。先修：赋范空间、Banach 空间与有界算子 · Lp 空间、乘积测度与 Fubini 定理
- 05难度 5/5紧算子与自伴算子研究紧算子把有界列送到具有收敛子列的结构，并在 Hilbert 空间中分析伴随、自伴与正算子。先修：Hilbert 空间、正交投影与对偶 · 拓扑空间、基与连续映射 · 线性变换
- 06难度 5/5泛函分析与算子理论综合复习围绕积分算子和边值问题联合使用 Banach 完备性、基本定理、Hilbert 投影、紧性、自伴性与谱分解。先修：赋范空间、Banach 空间与有界算子 · Hahn–Banach、开映射与一致有界原理 · Hilbert 空间、正交投影与对偶 · 紧算子与自伴算子 · 谱、预解式与谱定理