专题路线
先用状态量与熵建立宏观热力学，再从微观态计数与系综理论导出同一套宏观规律并研究相变。
具备概率与力学基础，希望理解热现象微观统计来源的学习者。
用状态量、热力学定律和熵产生分析宏观过程，并用自由能判据判断自发方向与相平衡。
从微观态计数与系综权重推导宏观热力学量，并比较经典统计与量子统计的适用极限。
区分熵传递与熵产生，并用自由膨胀例子说明孤立系统熵增如何量化过程的不可逆性。
比较微正则、正则与巨正则系综的约束条件与权重形式，并说明为什么热力学极限下它们给出一致的状态方程。
难度 3/5
Carnot 热机在 T_h=600 K 与 T_c=300 K 之间工作，每循环从高温热源吸热 1200 J。求效率、对外做功与排向低温热源的热量，并验证熵平衡。
可逆 Carnot 循环的效率只由温度比决定；熵平衡要求 Q_h/T_h=Q_c/T_c。
η=1-T_c/T_h=1-1/2=0.5，做功 W=ηQ_h=600 J，排热 Q_c=Q_h-W=600 J。熵检查：Q_h/T_h=2 J/K，Q_c/T_c=2 J/K，高温热源失熵与低温热源得熵相等，工质循环熵变为零，总熵产生为零，符合可逆过程。
结果核验：能量守恒：W+Q_c=1200 J=Q_h 成立；若把排热误算为 300 J，则 Q_c/T_c=1 J/K≠2 J/K，Clausius 等式被破坏，可据此自查账目。
难度 4/5
N 个可区分二能级粒子，能级 0 与 ε，置于温度 T。写出单粒子配分函数、总平均能量 U 与高温极限，并解释高温时能量为何饱和。
Z₁=1+e^{-βε}，平均能量由 -∂ln Z/∂β 给出，再乘 N。
Z₁=1+e^{-βε}，单粒子平均能量 ⟨ε₁⟩=ε e^{-βε}/(1+e^{-βε})=ε/(e^{βε}+1)，故 U=Nε/(e^{ε/k_BT}+1)。高温极限 βε→0 时 e^{βε}→1，U→Nε/2。饱和原因是能级有上界：温度再高，占据数只是趋向两能级等概，平均能量不可能越过 Nε/2 继续线性增长。
结果核验：低温极限 T→0 时 e^{βε}→∞，U→0，所有粒子回到基态，与物理预期一致；ε/(e^{βε}+1) 也是 Fermi 分布在单能级平均占据数上的形式，可交叉核对。
