专题路线
从微分方程、数值离散与计算图中选取必要节点，进入物理约束学习、神经算子和科学验证。
这是跨教材精选，不改变各册的 canonical 章节顺序；完整、连续的课程仍以教材目录为准。
本章研究热方程、波动方程与 Laplace 方程。内容依次处理分离变量和边界特征值问题、热方程的平滑与最大值原理、波动方程的能量和传播速度。
未开始本章研究常微分与偏微分方程数值方法。内容依次处理单步法、局部误差与绝对稳定域、多步法、刚性方程与自适应控制、有限差分的相容性、稳定性与收敛性。
未开始本章研究计算图、链式法则与局部导数。内容依次处理节点运算、依赖边与前向拓扑序、Jacobian–向量积与向量–Jacobian 积、动态图、静态图和中间值缓存。
未开始本章研究可微物理、自动微分与守恒约束。内容依次处理微分方程求解器的可微计算图、伴随法、自动微分与参数梯度、质量、能量守恒约束和离散误差。
未开始本章研究物理信息神经网络与残差训练。内容依次处理PDE 残差、边界初值与复合损失、配点采样、自适应加权与谱偏置、刚性方程、梯度失衡与解验证。
未开始本章研究DeepONet 与算子逼近。内容依次处理分支网络、主干网络与函数采样、算子逼近定理和传感点表示、训练函数覆盖、离散误差与外推。
未开始本章研究Fourier 神经算子与网格泛化。内容依次处理Fourier 模态截断与频域卷积、提升层、积分核与网格无关表示、分辨率迁移、边界条件和高频误差。
未开始本章研究逆问题、数据同化与不确定性。内容依次处理参数反演、可识别性与正则化、观测算子、滤波平滑与数据同化、后验采样、置信区间与模型误差。
未开始本章研究基准、外推边界与科学机器学习综合复习。内容依次处理解析解、数值解与学习解的交叉核验、守恒残差、网格收敛与跨参数外推、数据稀疏、方程错设与不确定性报告。
未开始完成指定教材章节后，用自己的推导回答；检查点不替代正文证明。
为一个含初值和边界条件的偏微分方程分别写出内部、初值、边界与数据残差，并说明各损失权重为何不能掩盖量纲差异。
比较固定网格上的点值回归与从输入函数到解函数的算子学习，并列出跨网格评估必须报告的误差和稳定性检查。
先独立作答，再展开提示与分步解答；每题附可重复的结果核验。
难度 3/5
方程 u'(x)+u(x)=0 满足 u(0)=1。取候选族 uₐ(x)=exp(-ax)，推导内部残差和边界残差，并求使两者同时为零的 a。说明自动微分在这一步计算什么。
先对 exp(-ax) 关于 x 求导；边界残差直接代入 x=0，内部残差保留为 x 的函数。
uₐ'(x)=-a exp(-ax)，所以内部残差 r(x)=(1-a)exp(-ax)。边界残差 b=uₐ(0)-1=0。由于指数函数不为零，r 对所有 x 为零当且仅当 a=1。自动微分计算的是候选函数对输入 x 的导数，并把该导数代入方程残差。
结果核验：令 a=1 后，r(x)=0 且 b=0；再令 a=0 可得 r(x)=1，说明残差公式能识别不满足微分方程的常数候选。
难度 4/5
周期区间上的热方程 uₜ=νuₓₓ 取初值 sin(2πx)，ν=0.1。写出 t=0.5 时的解析解，并给出用该解检查神经算子输出的相对 L2 误差方案。
正弦模态的二阶导数会带来 -(2π)²，时间振幅因此按 exp(-(2π)²νt) 衰减。
解析解为 u(x,t)=exp(-4π²νt)sin(2πx)。代入 ν=0.1、t=0.5，振幅为 exp(-0.2π²)，约等于 0.139。把同一网格上的预测值与解析值作差，计算其离散 L2 范数，再除以解析值的离散 L2 范数即可得到相对误差。
结果核验：t=0 时振幅恢复为 1；对解析式分别求 t 与 x 的导数可得 uₜ=-4π²νu、νuₓₓ=-4π²νu，两边一致。