专题路线
从概率空间与随机变量进入极限定理，再以抽样分布统一估计、置信区间、检验与统计决策。
本路线不要求额外的站内先修，可从第一个精选章节开始。
路线按阶段连续组织正文；章节原有教材位置和书内顺序保持不变。
在概率空间上建立随机变量模型，计算期望与协方差，并用大数定律和中心极限定理给出近似成立的条件。
概率公理与组合概率从样本空间、事件族和概率测度出发，推导基本运算规则，再说明只有在等可能假设成立时才能用排列组合计算概率。
未开始条件概率、独立性与贝叶斯公式通过缩小信息范围建立乘法公式、全概率分解和 Bayes 更新，并严格区分互斥、独立、条件独立与两两独立。
未开始本章研究随机变量与分布。内容依次处理随机变量与分布函数、离散分布、连续密度与变量变换、联合分布、边缘分布与条件分布。
未开始本章研究期望、方差与协方差。内容依次处理期望、方差与矩、协方差、相关系数与独立性、条件期望与全期望公式。
未开始大数定律与中心极限定理区分依概率、几乎处处和依分布收敛，在明确矩条件后解释样本平均的稳定性、标准化和正态近似边界。
未开始概率模型、随机变量与极限定理综合复习以完整建模案例串联计数、条件化、联合分布、矩、精确概率与极限定理近似，并用独立复算检查模型选择和误差来源。
未开始从抽样分布出发构造估计、置信区间与检验，并用偏差、功效和覆盖率比较统计程序。
样本、统计量与抽样分布从统计模型和 iid 随机样本出发，建立经验分布、次序统计量、标准误、正态样本枢轴与充分性，并说明抽样设计如何改变分布。
未开始点估计、充分性与信息量比较矩估计和最大似然，以偏差、方差、均方误差、一致性和信息下界评价估计量，并处理参数相关支持的边界。
未开始置信区间与枢轴量从重复抽样覆盖率出发，推导正态均值、方差和比例区间，比较 z、t、卡方、Wald 与 Wilson 方法的条件和误差。
未开始假设检验、功效与多重比较区分两类错误、功效与 p 值，连接 Neyman–Pearson、区间反演、精确离散检验和族错误率控制。
未开始线性模型中的统计推断以设计矩阵、正交投影和误差条件组织最小二乘、方差分析、系数检验、残差诊断、均值响应区间与预测区间。
未开始估计、检验与统计决策综合复习以贯穿案例统一抽样分布、似然、区间、功效、预测和损失决策，并分别报告数值误差、抽样误差与模型偏离。
未开始完成指定教材章节后，用自己的推导回答；检查点不替代正文证明。
区分依概率收敛与依分布收敛，并说明大数定律和中心极限定理对样本均值分别给出什么精度信息。
对正态均值问题写出置信区间与双侧检验的对偶关系，并解释覆盖率 95% 的重复抽样含义而非单次概率含义。
先独立作答，再展开提示与分步解答；每题附可重复的结果核验。
难度 3/5
X₁,…,X₁₀₀ 独立同分布，均值 2、方差 9。用中心极限定理近似 P(X̄>2.9)，并说明近似的依据与误差来源。
样本均值近似服从 N(2, 9/100)，标准化为标准正态后查分布函数。
X̄ 近似服从 N(2,0.09)，标准误 0.3，故 P(X̄>2.9)≈1-Φ((2.9-2)/0.3)=1-Φ(3)≈1-0.99865=0.00135。依据是有限方差独立同分布情形的中心极限定理；误差来自正态近似对尾部的偏差，三阶矩有界时 Berry–Esseen 界给出 O(1/√n) 量级的分布函数误差。
结果核验：若总体恰为正态，则 X̄ 精确服从 N(2,0.09)，近似值即为精确值；重复模拟 10⁵ 次抽样，超过 2.9 的频率应稳定在约 0.0013 附近。
难度 3/5
某正态总体抽取 n=16 的样本，x̄=10.4，样本标准差 s=2.0。构造均值 μ 的 95% 置信区间，并解释为何使用 t 分布而不是标准正态。
方差未知时枢轴量 T=(X̄-μ)/(S/√n) 服从 t(n-1)，查 t(15) 的 0.975 分位数。
t_{0.975}(15)=2.131，区间为 x̄±t·s/√n=10.4±2.131×2/4=10.4±1.066，即 (9.33,11.47)。总体方差未知而用样本方差代替后，枢轴量分子为正态、分母含独立卡方变量的平方根，比值服从 t(15) 而非标准正态；n 增大时 t 分布趋向正态。
结果核验：若误用 z_{0.975}=1.96，半宽为 0.98，区间更窄，小样本覆盖率将低于 95%；t 区间更宽正是对方差估计不确定性的补偿，可用模拟重复抽样核对覆盖率。