专题路线
从概率空间与随机变量进入极限定理，再以抽样分布统一估计、置信区间、检验与统计决策。
具备微积分基础，希望把概率模型与数据推断连成一条严格链条的学习者。
在概率空间上建立随机变量模型，计算期望与协方差，并用大数定律和中心极限定理给出近似成立的条件。
从抽样分布出发构造估计、置信区间与检验，并用偏差、功效和覆盖率比较统计程序。
区分依概率收敛与依分布收敛，并说明大数定律和中心极限定理对样本均值分别给出什么精度信息。
对正态均值问题写出置信区间与双侧检验的对偶关系，并解释覆盖率 95% 的重复抽样含义而非单次概率含义。
难度 3/5
X₁,…,X₁₀₀ 独立同分布，均值 2、方差 9。用中心极限定理近似 P(X̄>2.9)，并说明近似的依据与误差来源。
样本均值近似服从 N(2, 9/100)，标准化为标准正态后查分布函数。
X̄ 近似服从 N(2,0.09)，标准误 0.3，故 P(X̄>2.9)≈1-Φ((2.9-2)/0.3)=1-Φ(3)≈1-0.99865=0.00135。依据是有限方差独立同分布情形的中心极限定理；误差来自正态近似对尾部的偏差，三阶矩有界时 Berry–Esseen 界给出 O(1/√n) 量级的分布函数误差。
结果核验：若总体恰为正态，则 X̄ 精确服从 N(2,0.09)，近似值即为精确值；重复模拟 10⁵ 次抽样，超过 2.9 的频率应稳定在约 0.0013 附近。
难度 3/5
某正态总体抽取 n=16 的样本，x̄=10.4，样本标准差 s=2.0。构造均值 μ 的 95% 置信区间，并解释为何使用 t 分布而不是标准正态。
方差未知时枢轴量 T=(X̄-μ)/(S/√n) 服从 t(n-1)，查 t(15) 的 0.975 分位数。
t_{0.975}(15)=2.131，区间为 x̄±t·s/√n=10.4±2.131×2/4=10.4±1.066，即 (9.33,11.47)。总体方差未知而用样本方差代替后，枢轴量分子为正态、分母含独立卡方变量的平方根，比值服从 t(15) 而非标准正态；n 增大时 t 分布趋向正态。
结果核验：若误用 z_{0.975}=1.96，半宽为 0.98，区间更窄，小样本覆盖率将低于 95%；t 区间更宽正是对方差估计不确定性的补偿，可用模拟重复抽样核对覆盖率。
