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傅里叶级数：用正交谐波展开周期函数
从三角函数正交性推导傅里叶系数，分析部分和、收敛、Gibbs 现象，并连接固定弦的模态演化。
mathematics · calculus · 难度 3 · 正文可读 - article
MIT 18.03SC Differential Equations
覆盖常微分方程、线性系统、傅里叶级数与拉普拉斯变换。
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MIT 18.06SC Linear Algebra
从线性方程组进入向量空间、矩阵分解、行列式与特征值。
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MIT 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves
从振子、耦合模态进入机械波、电磁波与波动方程的本科物理课程。
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向量：从箭头到高维空间
从位移箭头、坐标与线性组合出发，理解向量如何成为描述方向、状态和高维数据的统一语言。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 正文可读 - article
感知机与多层感知机：从线性边界到可学习的非线性
从线性阈值分类器、误分类更新与可分性出发，推导多层感知机的前向传播、张量形状、参数数量和表达能力边界。
machine-learning · neural-networks · 难度 3 · 正文可读 - article
注意力机制：从加权平均到自注意力
从数据相关的加权平均推导缩放点积注意力，明确 query、key、value 的形状、softmax 归一化与解释边界。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 正文可读 - article
特征值与特征向量：寻找线性变换的不变方向
从方向不变条件推导特征方程，区分代数与几何重数，判断对角化，并连接矩阵幂、稳定性和对称矩阵。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 正文可读 - article
矩阵：组织线性关系的坐标语言
从形状、行列与列向量出发，理解矩阵运算、矩阵乘法、单位矩阵、逆矩阵和分块计算的结构含义。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 正文可读 - article
积分与累积：从黎曼和到微积分基本定理
从分割区间和局部贡献出发定义定积分，推导积分的基本性质与微积分基本定理，并区分净累积、几何面积和原函数。
mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读 - article
线性变换：把矩阵看作空间运动
把矩阵理解为保持线性组合的空间映射，并用基向量、行列式与奇异性解释二维变换的几何行为。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 正文可读 - article
行列式：有向体积、可逆性与消元
从平行四边形有向面积出发，推导行列式的多线性、交替性、行变换规则及其与可逆性的等价关系。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 正文可读 - concept
Transformer
组合多头自注意力、前馈网络、残差与归一化，构成并行序列建模架构。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲 - learning-path
从感知机到 Transformer
沿梯度流、卷积、循环、注意力和残差结构理解现代神经网络。
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傅里叶变换
把非周期信号表示为连续频率成分，并连接时域卷积、频域乘法和谱宽。
mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲 - concept
反常积分
用极限定义无穷区间或无界被积函数的积分，并判断其收敛性。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
复数与复平面
用代数形式和极坐标形式表示复数，理解模、幅角、共轭与旋转缩放的联系。
mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲 - concept
波的傅里叶分析
把复杂波形分解为单频模式，并观察频谱如何控制传播、干涉和色散。
physics · waves · 难度 4 · 详细大纲 - concept
神经算子
学习函数空间之间的映射，使模型能够跨输入场和网格近似一族算子解。
interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 5 · 详细大纲 - concept
Jacobian 矩阵
用一阶偏导矩阵表示多输入多输出映射的最佳局部线性近似。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
Laplace 变换
用复频率积分把微分方程转化为代数方程，并系统处理初始条件。
mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲 - concept
三角函数
从单位圆定义正弦、余弦和正切，理解周期、相位与常用恒等式。
mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲 - concept
位置编码
向无序的注意力计算注入序列位置信息，比较正弦、学习式和相对位置方案。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲 - concept
叠加原理
说明线性方程解的线性组合仍是解，并用干涉现象展示振幅的相加与相消。
physics · waves · 难度 2 · 详细大纲 - concept
图神经网络
通过邻域消息传递更新节点表示，并用置换不变聚合处理非欧氏结构。
machine-learning · neural-networks · 难度 5 · 详细大纲 - concept
多模态学习
对齐文本、图像、音频等不同表示空间，并通过共享或交叉注意力融合信息。
machine-learning · neural-networks · 难度 5 · 详细大纲 - concept
大语言模型
以大规模自回归 Transformer 建模文本分布，并区分预训练、对齐和推理阶段。
machine-learning · neural-networks · 难度 5 · 详细大纲 - concept
常微分方程
用未知函数及其常导数描述动态规律，区分阶数、线性、自治和初值条件。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
批归一化
利用小批量统计量标准化中间激活，并区分训练与推理阶段的统计处理。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲 - concept
正交性
用零内积表达方向独立性，并理解正交基如何简化坐标、长度和数值计算。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
正交投影
把向量分解到子空间及其正交补上，并推导投影矩阵与最小距离性质。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲 - concept
残差连接
让层学习相对恒等映射的残差，改善深层网络的信息与梯度传播。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲 - concept
混合专家模型
用路由器为每个输入选择少量专家子网络，在计算受控时扩展参数容量。
machine-learning · neural-networks · 难度 5 · 详细大纲 - concept
算符与可观测量
用自伴线性算符表示可观测量，并由本征值和期望值连接测量结果。
physics · quantum-mechanics · 难度 4 · 详细大纲 - concept
线性组合
用系数组合一组向量，判断一个目标向量是否能够由给定生成集合表示。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 详细大纲 - concept
自注意力
让同一序列产生 query、key、value，使每个位置按内容动态聚合其他位置。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲 - concept
自监督学习
从数据本身构造预测或对比任务，学习可迁移表示而不依赖人工标签。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲 - experiment
二维线性变换
观察矩阵如何移动网格、基向量与有向面积。
mathematics - experiment
傅里叶谐波叠加
逐项加入不同频率的正弦分量，观察部分和逼近周期波形。
physics - paper
Attention Is All You Need
提出以自注意力为核心、无需循环结构的 Transformer 架构。
- equation
实形式傅里叶级数
f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos nx+b_n\sin nx\bigr)
mathematics · calculus - learning-path
数学物理方法基础
由微分方程、本征函数和傅里叶方法进入波动、边值问题与基础量子模型。
- learning-path
机器学习数学基础
把线性代数、多变量微分、概率矩和优化连接为机器学习的统一计算语言。
- learning-path
线性代数基础
从向量和矩阵建立线性空间语言，进入方程组、特征结构与低秩分解。
- equation
线性变换
\mathbf{y}=A\mathbf{x}
mathematics · linear-algebra - equation
缩放点积注意力
\operatorname{Attention}(Q,K,V)=\operatorname{softmax}\!\left(\frac{QK^\mathsf{T}}{\sqrt{d_k}}\right)V
machine-learning · neural-networks