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极限与连续性：用邻域刻画逼近
从数值逼近进入 ε-δ 定义，证明极限的唯一性与运算规则，并用连续性连接局部行为、方程求根和后续微积分。
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导数与微分：从变化率到局部线性化
由割线斜率的极限定义导数，推导乘积与链式法则，说明微分作为最佳局部线性近似的含义，并连接中值定理与误差估计。
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链式法则
把复合函数的局部变化拆为各层导数的乘积，并推广到多变量映射。
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偏导数
在其他变量固定时测量多变量函数沿坐标方向的局部变化率。
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方向导数
沿任意给定方向定义多变量函数的变化率，并连接单位方向与局部线性近似。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - article
导数、方向导数与梯度
从全微分建立多变量函数的最佳线性近似，用梯度表示方向导数，并区分欧氏最陡方向、一般度量和约束条件。
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Jacobian 矩阵
用一阶偏导矩阵表示多输入多输出映射的最佳局部线性近似。
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Hessian 矩阵
用二阶偏导矩阵描述标量函数的局部曲率，并分析极值点附近的方向结构。
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Taylor 展开
以一点处的导数构造多项式局部近似，并用余项控制截断误差。
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积分与累积：从黎曼和到微积分基本定理
从分割区间和局部贡献出发定义定积分，推导积分的基本性质与微积分基本定理，并区分净累积、几何面积和原函数。
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积分技巧
使用换元、分部积分和部分分式把复杂积分化为可计算的基本形式。
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反常积分
用极限定义无穷区间或无界被积函数的积分，并判断其收敛性。
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多重积分
在二维和高维区域上累积标量密度，并处理积分次序与变量变换。
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向量场
给空间中每一点分配一个向量，用于描述速度场、力场和梯度场。
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曲线积分
沿参数曲线累积标量或向量场贡献，并解释功与环流的数学表达。
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曲面积分
在参数曲面上累积密度或通量，明确面积元和法向方向的作用。
mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲 - concept
微积分基本定理
证明求导与积分在适当连续条件下互为逆运算，并连接局部变化与总累积。
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常微分方程
用未知函数及其常导数描述动态规律，区分阶数、线性、自治和初值条件。
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初值问题
给定某一时刻的状态后求解微分方程，并理解存在唯一性对演化预测的意义。
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偏微分方程
用多个自变量的偏导描述场的空间与时间变化，并区分椭圆、抛物和双曲类型。
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边值问题
在区域边界施加函数值或通量条件，并研究这些约束如何选择微分方程的解。
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傅里叶级数：用正交谐波展开周期函数
从三角函数正交性推导傅里叶系数，分析部分和、收敛、Gibbs 现象，并连接固定弦的模态演化。
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傅里叶变换
把非周期信号表示为连续频率成分，并连接时域卷积、频域乘法和谱宽。
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Laplace 变换
用复频率积分把微分方程转化为代数方程，并系统处理初始条件。
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变分法
对函数空间中的泛函求驻值，推导 Euler–Lagrange 方程及边界项。
mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲 - concept
Sturm–Liouville 理论
研究带权自伴二阶边值问题，建立正交本征函数、实本征值和函数展开。
mathematics · calculus · 难度 5 · 详细大纲 - equation
导数的差商定义
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
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方向导数与梯度
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{x})=\nabla f(\mathbf{x})^\mathsf{T}\mathbf{u}
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实形式傅里叶级数
f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos nx+b_n\sin nx\bigr)
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