专题路线
从点集拓扑的紧致与连通出发，经光滑流形与微分形式，进入 Riemann 度量、测地线与曲率。
本路线不要求额外的站内先修，可从第一个精选章节开始。
路线按阶段连续组织正文；章节原有教材位置和书内顺序保持不变。
用开集、基、紧致与连通的定义判断具体空间的拓扑性质，并说明连续映射保持哪些性质。
在光滑流形上通过坐标图、切空间与微分形式进行计算，并陈述 Stokes 定理的定向与边界条件。
由 Riemann 度量与 Levi-Civita 联络写出测地线方程，并用截面曲率比较不同空间的几何行为。
完成指定教材章节后，用自己的推导回答；检查点不替代正文证明。
以单位球面 S² 为例说明坐标图覆盖、切空间构造和 2-形式积分的定向约定，并写出 Stokes 定理在此情形化为边界积分的条件。
比较平面、球面与双曲平面的截面曲率符号，并说明曲率符号如何影响测地三角形的内角和与测地线的聚散行为。
先独立作答，再展开提示与分步解答；每题附可重复的结果核验。
难度 3/5
证明：若 X 紧致且 f:X→Y 连续，则 f(X) 紧致。再举一例说明把定义域换成开区间后结论失效，并指出证明中哪一步用到紧致性。
从 f(X) 的任一开覆盖出发，用连续性把它拉回为 X 的开覆盖；反例可取开区间的恒等嵌入。
设 {Vₐ} 是 f(X) 的开覆盖，则 {f⁻¹(Vₐ)} 是 X 的开覆盖，由紧致性取有限子覆盖 f⁻¹(V₁),…,f⁻¹(Vₙ)，于是 V₁,…,Vₙ 覆盖 f(X)。反例：f(x)=x 把 (0,1) 映入 ℝ，像 (0,1) 非紧致——开覆盖 {(1/n,1)} 无有限子覆盖。证明中提取有限子覆盖这一步正是对定义域紧致性的使用，缺少它结论不成立。
结果核验：改用闭区间 [0,1] 的恒等映射，像 [0,1] 由 Heine–Borel 定理紧致，与定理一致；反例中 (0,1) 在 ℝ 中非闭，与 Heine–Borel 判据对紧致集的刻画吻合。
难度 4/5
设 ω=-y dx+x dy，D 为单位圆盘，边界 ∂D 取逆时针定向。分别计算 ∫_{∂D} ω 与 ∫_D dω，验证 Stokes 定理 ∫_{∂D}ω=∫_D dω。
外微分 dω=2 dx∧dy；边界用参数 x=cos t、y=sin t，把 ω 拉回到参数区间。
dω=-dy∧dx+dx∧dy=2 dx∧dy，故 ∫_D dω=2·Area(D)=2π。边界上 dx=-sin t dt、dy=cos t dt，于是 ω=sin²t dt+cos²t dt=dt，∫₀^{2π}dt=2π。两侧相等，Stokes 公式成立，这正是平面 Green 定理的形式。
结果核验：把 ω 换成 x dy，则 ∫_{∂D} x dy=π=Area(D)，与 d(x dy)=dx∧dy 给出的面积公式一致；定向改为顺时针时两侧同时变号，等式保持。