二进制与数值表示

位序列与数值范围

处理器和内存保存有限长度的位序列。一个位只有零和一两种取值，八个位组成一个字节。为了把位序列解释成整数、字符或地址，程序还需要确定类型、位宽和编码规则。同一组位按无符号整数读取时得到非负值，按补码整数读取时可能得到负值；这种区别来自解释规则，存储单元中的位本身没有改变。

我们把最低有效位记为 $b_0$，把最高有效位记为 $b_{w-1}$，其中位宽 $w$ 是正整数，每个 $b_i$ 属于集合 $\{0,1\}$。下标从右侧开始，编号与书写方向需要区分。无符号解释把每个位乘以对应的二次幂，然后相加，因此最高位的权重最大。

无符号整数

位宽为 $w$ 的无符号整数表示为

$u=\sum_{i=0}^{w-1} b_i2^i,\qquad 0\le u\le 2^w-1.$

共有 $2^w$ 种不同位序列，最小值对应全零，最大值对应全一。地址、长度和计数常采用这种表示，但具体数据类型仍由语言和接口规定。

十六进制每位对应四个二进制位，适合抄写字节内容。转换时先按四位分组，再把每组映射为一个十六进制数字。例如十六进制的字母 A 到 F 分别表示十进制的十到十五。书写中的前缀用于标明进制，不占存储位；读取调试器输出时应先确认显示进制，再进行数值比较。

补码与符号扩展

补码把最高位的权重改为负数，其余位保持原来的正权重。位宽为 $w$ 时，数值范围关于零不对称，负数比正数多一个。我们用相同位序列的无符号值 $u$ 表示补码值 $s$，便于检查转换：

$s=\begin{cases}u,&u<2^{w-1},\\u-2^w,&u\ge 2^{w-1}.\end{cases}$

由此得到补码范围 $-2^{w-1}\le s\le 2^{w-1}-1$。对范围内的正数取负时，逐位取反后加一得到负数的编码；最小负数的正值超出同一位宽的范围，因此对它取负需要额外位宽或明确的异常处理。补码零只有一种表示，这使零比较和加法电路的组织较为直接。

字节的两种整数解释

给定字节 1110 1101，求其无符号值、八位补码值和扩展到十六位后的编码。按无符号权重求和，我们得到 $128+64+32+8+4+1=237$。最高位为一，所以补码值为 $237-256=-19$。扩展时复制原符号位，结果是 1111 1111 1110 1101，十六进制为 0xFFED；其无符号值为 $65517$，减去 $65536$ 后仍为 $-19$。如果在左侧补零，得到的值会变成 $237$，因此扩展方式必须随原类型确定。

符号扩展保留有符号数值，零扩展保留无符号数值。截去高位则通常改变数值，只有被截去的部分满足对应扩展规则时才保持原值。把宽整数转换为窄整数前，应检查目标类型的范围；对外部文件字段尤其需要验证长度和符号约定，以免把负数误读成巨大的长度。

固定位宽加法与溢出

一个只保留低 $w$ 位的加法器产生模 $2^w$ 的结果。无符号相加时，最高位之外的进位说明数学和超出表示范围；补码相加时，应检查两个同号操作数是否得到异号结果。这两种判定针对不同解释，单独查看最高位进位无法判断所有补码溢出。

八位加法的溢出判断

用八位补码计算 $100+60$。两个编码分别是 0110 0100 和 0011 1100，逐位相加得到 1010 0000，保留的位序列按无符号数解释为 $160$，按补码解释为 $-96$。数学和超出八位补码最大值 $127$，所以发生有符号溢出。再计算 $-1+1$：1111 1111 加 0000 0001 得到九位结果 1 0000 0000，低八位为零。这里有最高位进位，但数学和零处于补码范围内，有符号运算没有溢出。两次计算分别检查数学范围，结论与符号判据一致。

硬件结果还需要与编程语言规则区分。RISC-V 基础整数加法保留低位结果；在 C 和 C++ 中，有符号整数溢出属于未定义行为，不能用处理器的低位行为直接推断程序语义。编写范围检查时，我们应在运算前比较边界，或在更宽且足够的类型中计算，再核对结果是否适合目标类型。

位移也依赖类型和指令。逻辑右移在左侧补零，算术右移通常复制符号位；对负数的整数除法还要核对舍入方向。按位与、或、异或对各位分别运算，常用于掩码。设置某位时使用按位或，清除某位时与对应反掩码相与，读取某位时先掩码再判断是否为零。

字节序与内存读取

当一个数占多个字节时，内存地址顺序与数值高低位之间还存在字节序约定。小端序把最低有效字节放在较低地址，大端序把最高有效字节放在较低地址。两种约定都保留字节内部的位权关系，不需要把一个字节的位逐个倒转。

例如一个三十二位数 0x12345678 从地址 $a$ 开始存储，小端字节顺序为 78 56 34 12，大端顺序为 12 34 56 78。读取网络报文或文件时，应按格式规定组合字节，避免直接把字节缓冲区强制解释成主机整数。对齐要求与字节序是独立问题：即使字节顺序正确，某些平台仍可能限制多字节读写的起始地址。

字符编码进一步说明了类型信息的重要性。一个字节既可能是整数的一部分，也可能是文本编码的一部分。文本的字符数量、编码字节数量和屏幕显示宽度分别计量不同对象，处理中文文件时不能把它们直接等同。二进制格式应明确字段宽度、编码、字节序和允许范围，接收方才能逐项恢复数据。

定点数与精度

位序列也能表示带小数的数值。一种定点约定是在整数解释之外，统一乘以一个固定比例。例如把八位补码整数乘以四分之一，则相邻数值间隔为四分之一，范围从负三十二到三十一点七五。小数点的位置由约定保存，实际字节中无需单独存储一个小数点字符。处理传感器读数时，这种方法能直接把整数编码与物理单位联系起来，但乘除运算后需要重新处理比例。

浮点表示则另外保存指数，使不同大小的数使用不同间距。有限位数仍只能表示有限多个数，十进制中有限位的小数未必具有有限长度的二进制展开。计算所得结果因此可能经过舍入，比较浮点计算结果时需要结合问题的误差范围。整数溢出、浮点舍入和文本解析分别来自不同规则，定位数值错误时应逐项核对数据类型与转换步骤。

数值表示练习

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所属知识

整数范围

难度

2/5

求十二位无符号整数与补码整数的表示范围，并核对两者包含的整数数量。

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十二位无符号范围是零到四千零九十五；十二位补码范围是负二千零四十八到二千零四十七。两个范围各包含四千零九十六个整数。

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所属知识

编码转换

难度

2/5

写出负五的八位补码和十六进制编码，再用无符号值减去模数核对答案。

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五的八位编码为00000101，取反加一得11111011，即十六进制FB。按无符号解释为二百五十一，减去二百五十六恢复负五。

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所属知识

位掩码

难度

2/5

对字节 0xA6 分别保留低四位、保留高四位和设置最低位，写出三种运算及其结果。

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十六进制A6按二进制是10100110。与0F相与保留低四位得到06；与F0相与保留高四位得到A0；或01设置最低位后得到A7。

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所属知识

字节序

难度

2/5

相邻地址中依次保存字节 34 12，分别按小端和大端十六位整数读取，求十六进制与十进制结果。

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按小端序组合为十六进制1234，即十进制四千六百六十；按大端序组合为3412，即一万三千三百三十。两个数均小于十六位补码上限。

数字表示参考资料

1 Basics of Information: Computation Structures

Chris Terman · 2017 · Massachusetts Institute of Technology

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RV32I Base Integer Instruction Set, Version 2.1

RISC-V International

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MIT 6.004 的信息表示课程讨论位序列、编码与数值表示，可结合本章的补码算例阅读。RISC-V RV32I 规范规定整数寄存器及算术指令的低位结果，适合核对硬件运算规则。