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特征值与特征向量:寻找线性变换的不变方向
从方向不变条件推导特征方程,区分代数与几何重数,判断对角化,并连接矩阵幂、稳定性和对称矩阵。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 正文可读 - article
MIT 18.06SC Linear Algebra
从线性方程组进入向量空间、矩阵分解、行列式与特征值。
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极限与连续性:用邻域刻画逼近
从数值逼近进入 ε-δ 定义,证明极限的唯一性与运算规则,并用连续性连接局部行为、方程求根和后续微积分。
mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读 - article
注意力机制:从加权平均到自注意力
从数据相关的加权平均推导缩放点积注意力,明确 query、key、value 的形状、softmax 归一化与解释边界。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 正文可读 - article
线性变换:把矩阵看作空间运动
把矩阵理解为保持线性组合的空间映射,并用基向量、行列式与奇异性解释二维变换的几何行为。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 正文可读 - article
行列式:有向体积、可逆性与消元
从平行四边形有向面积出发,推导行列式的多线性、交替性、行变换规则及其与可逆性的等价关系。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 正文可读 - concept
奇异值分解
把任意矩阵分解为两次正交变换和一次轴向缩放,揭示秩与主方向。
mathematics · linear-algebra · 难度 4 · 详细大纲 - concept
正交性
用零内积表达方向独立性,并理解正交基如何简化坐标、长度和数值计算。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
矩阵的秩
用主元、列空间和像空间度量矩阵保留的独立方向数量。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - learning-path
线性代数基础
从向量和矩阵建立线性空间语言,进入方程组、特征结构与低秩分解。
- concept
Markov 链
用状态转移矩阵描述无记忆随机演化,并分析平稳分布和长期行为。
mathematics · probability · 难度 4 · 详细大纲 - concept
Sturm–Liouville 理论
研究带权自伴二阶边值问题,建立正交本征函数、实本征值和函数展开。
mathematics · calculus · 难度 5 · 详细大纲 - concept
主成分分析
寻找数据协方差最大的正交方向,并用低秩投影压缩和去噪。
machine-learning · learning-theory · 难度 3 · 详细大纲 - concept
假设检验
用零假设下的统计量分布控制第一类错误,并解释 p 值、功效和多重比较。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
偏微分方程
用多个自变量的偏导描述场的空间与时间变化,并区分椭圆、抛物和双曲类型。
mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲 - concept
初值问题
给定某一时刻的状态后求解微分方程,并理解存在唯一性对演化预测的意义。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
常微分方程
用未知函数及其常导数描述动态规律,区分阶数、线性、自治和初值条件。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
常微分方程数值解
用 Euler 和 Runge–Kutta 方法推进初值问题,并分析稳定性、阶数和步长。
computer-science · scientific-computing · 难度 4 · 详细大纲 - concept
无限深方势阱
在零边界波函数条件下求解定态 Schrödinger 方程,得到离散能级和正弦本征态。
physics · quantum-mechanics · 难度 4 · 详细大纲 - concept
有限元基础
从弱形式和局部基函数组装离散系统,用网格逼近复杂区域上的边值问题。
computer-science · scientific-computing · 难度 5 · 详细大纲 - concept
格林函数
用点源响应构造线性微分方程的受迫解,并把边界条件编码进核函数。
physics · waves · 难度 5 · 详细大纲 - concept
正定矩阵
通过二次型和特征值判断矩阵是否在所有非零方向产生正曲率。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲 - concept
波动边界条件
区分固定端、自由端和周期边界,并判断反射相位与允许解族。
physics · waves · 难度 3 · 详细大纲 - concept
简正模
把线性系统的运动分解为独立本征振型,并由边界条件量化允许频率。
physics · waves · 难度 4 · 详细大纲 - concept
算符与可观测量
用自伴线性算符表示可观测量,并由本征值和期望值连接测量结果。
physics · quantum-mechanics · 难度 4 · 详细大纲 - concept
耦合振子
把多个相互作用振子的方程写成矩阵系统,并用本征向量分解简正模。
physics · classical-mechanics · 难度 4 · 详细大纲 - concept
自注意力
让同一序列产生 query、key、value,使每个位置按内容动态聚合其他位置。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲 - concept
边值问题
在区域边界施加函数值或通量条件,并研究这些约束如何选择微分方程的解。
mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲 - concept
迭代线性求解器
通过残差更新逐步逼近大型稀疏线性系统的解,并用谱性质判断收敛。
computer-science · scientific-computing · 难度 4 · 详细大纲 - learning-path
数学物理方法基础
由微分方程、本征函数和傅里叶方法进入波动、边值问题与基础量子模型。
- equation
特征值方程
A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}
mathematics · linear-algebra