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  1. article

    特征值与特征向量:寻找线性变换的不变方向

    从方向不变条件推导特征方程,区分代数与几何重数,判断对角化,并连接矩阵幂、稳定性和对称矩阵。

    mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 正文可读
  2. article

    MIT 18.06SC Linear Algebra

    从线性方程组进入向量空间、矩阵分解、行列式与特征值。

  3. article

    极限与连续性:用邻域刻画逼近

    从数值逼近进入 ε-δ 定义,证明极限的唯一性与运算规则,并用连续性连接局部行为、方程求根和后续微积分。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读
  4. article

    注意力机制:从加权平均到自注意力

    从数据相关的加权平均推导缩放点积注意力,明确 query、key、value 的形状、softmax 归一化与解释边界。

    machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 正文可读
  5. article

    线性变换:把矩阵看作空间运动

    把矩阵理解为保持线性组合的空间映射,并用基向量、行列式与奇异性解释二维变换的几何行为。

    mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 正文可读
  6. article

    行列式:有向体积、可逆性与消元

    从平行四边形有向面积出发,推导行列式的多线性、交替性、行变换规则及其与可逆性的等价关系。

    mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 正文可读
  7. concept

    奇异值分解

    把任意矩阵分解为两次正交变换和一次轴向缩放,揭示秩与主方向。

    mathematics · linear-algebra · 难度 4 · 详细大纲
  8. concept

    正交性

    用零内积表达方向独立性,并理解正交基如何简化坐标、长度和数值计算。

    mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲
  9. concept

    矩阵的秩

    用主元、列空间和像空间度量矩阵保留的独立方向数量。

    mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲
  10. learning-path

    线性代数基础

    从向量和矩阵建立线性空间语言,进入方程组、特征结构与低秩分解。

  11. concept

    Markov 链

    用状态转移矩阵描述无记忆随机演化,并分析平稳分布和长期行为。

    mathematics · probability · 难度 4 · 详细大纲
  12. concept

    Sturm–Liouville 理论

    研究带权自伴二阶边值问题,建立正交本征函数、实本征值和函数展开。

    mathematics · calculus · 难度 5 · 详细大纲
  13. concept

    主成分分析

    寻找数据协方差最大的正交方向,并用低秩投影压缩和去噪。

    machine-learning · learning-theory · 难度 3 · 详细大纲
  14. concept

    假设检验

    用零假设下的统计量分布控制第一类错误,并解释 p 值、功效和多重比较。

    mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲
  15. concept

    偏微分方程

    用多个自变量的偏导描述场的空间与时间变化,并区分椭圆、抛物和双曲类型。

    mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲
  16. concept

    初值问题

    给定某一时刻的状态后求解微分方程,并理解存在唯一性对演化预测的意义。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  17. concept

    常微分方程

    用未知函数及其常导数描述动态规律,区分阶数、线性、自治和初值条件。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  18. concept

    常微分方程数值解

    用 Euler 和 Runge–Kutta 方法推进初值问题,并分析稳定性、阶数和步长。

    computer-science · scientific-computing · 难度 4 · 详细大纲
  19. concept

    无限深方势阱

    在零边界波函数条件下求解定态 Schrödinger 方程,得到离散能级和正弦本征态。

    physics · quantum-mechanics · 难度 4 · 详细大纲
  20. concept

    有限元基础

    从弱形式和局部基函数组装离散系统,用网格逼近复杂区域上的边值问题。

    computer-science · scientific-computing · 难度 5 · 详细大纲
  21. concept

    格林函数

    用点源响应构造线性微分方程的受迫解,并把边界条件编码进核函数。

    physics · waves · 难度 5 · 详细大纲
  22. concept

    正定矩阵

    通过二次型和特征值判断矩阵是否在所有非零方向产生正曲率。

    mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲
  23. concept

    波动边界条件

    区分固定端、自由端和周期边界,并判断反射相位与允许解族。

    physics · waves · 难度 3 · 详细大纲
  24. concept

    简正模

    把线性系统的运动分解为独立本征振型,并由边界条件量化允许频率。

    physics · waves · 难度 4 · 详细大纲
  25. concept

    算符与可观测量

    用自伴线性算符表示可观测量,并由本征值和期望值连接测量结果。

    physics · quantum-mechanics · 难度 4 · 详细大纲
  26. concept

    耦合振子

    把多个相互作用振子的方程写成矩阵系统,并用本征向量分解简正模。

    physics · classical-mechanics · 难度 4 · 详细大纲
  27. concept

    自注意力

    让同一序列产生 query、key、value,使每个位置按内容动态聚合其他位置。

    machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲
  28. concept

    边值问题

    在区域边界施加函数值或通量条件,并研究这些约束如何选择微分方程的解。

    mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲
  29. concept

    迭代线性求解器

    通过残差更新逐步逼近大型稀疏线性系统的解,并用谱性质判断收敛。

    computer-science · scientific-computing · 难度 4 · 详细大纲
  30. learning-path

    数学物理方法基础

    由微分方程、本征函数和傅里叶方法进入波动、边值问题与基础量子模型。

  31. equation

    特征值方程

    A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}

    mathematics · linear-algebra