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导数、方向导数与梯度
从全微分建立多变量函数的最佳线性近似,用梯度表示方向导数,并区分欧氏最陡方向、一般度量和约束条件。
mathematics · calculus · 难度 3 · 正文可读 - article
矩阵:组织线性关系的坐标语言
从形状、行列与列向量出发,理解矩阵运算、矩阵乘法、单位矩阵、逆矩阵和分块计算的结构含义。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 正文可读 - article
线性变换:把矩阵看作空间运动
把矩阵理解为保持线性组合的空间映射,并用基向量、行列式与奇异性解释二维变换的几何行为。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 正文可读 - concept
Hessian 矩阵
用二阶偏导矩阵描述标量函数的局部曲率,并分析极值点附近的方向结构。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
Jacobian 矩阵
用一阶偏导矩阵表示多输入多输出映射的最佳局部线性近似。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
Newton 方法
利用 Hessian 曲率修正梯度方向,理解二次收敛、阻尼和矩阵求解成本。
mathematics · optimization · 难度 4 · 详细大纲 - concept
正定矩阵
通过二次型和特征值判断矩阵是否在所有非零方向产生正曲率。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲 - concept
Markov 链
用状态转移矩阵描述无记忆随机演化,并分析平稳分布和长期行为。
mathematics · probability · 难度 4 · 详细大纲 - concept
二次型
用矩阵表达多变量二次函数,并由特征方向分析等值面与曲率。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲 - concept
偏导数
在其他变量固定时测量多变量函数沿坐标方向的局部变化率。
mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲 - concept
卷积神经网络
用局部连接和权重共享提取平移结构特征,并逐层扩大感受野。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲 - concept
参数初始化与梯度流
分析权重尺度如何影响前向方差和反向梯度,理解 Xavier 与 He 初始化。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲 - concept
向量运算与内积
计算向量加法、数乘、范数和内积,并解释长度、夹角与相似度的几何意义。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 详细大纲 - concept
奇异值分解
把任意矩阵分解为两次正交变换和一次轴向缩放,揭示秩与主方向。
mathematics · linear-algebra · 难度 4 · 详细大纲 - concept
张成、线性无关与基
通过张成集和线性无关选择最小坐标系统,理解维数为何不依赖具体基。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
归一化流
用可逆变换和 Jacobian 行列式把简单密度映射为复杂密度,同时保留精确似然。
machine-learning · generative-models · 难度 5 · 详细大纲 - concept
矩阵乘法
从行列内积和映射复合理解矩阵乘法,明确不可交换性与维度匹配条件。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
矩阵的秩
用主元、列空间和像空间度量矩阵保留的独立方向数量。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
矩阵运算
掌握矩阵加法、数乘、转置和分块操作,并跟踪各运算对矩阵形状的要求。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 详细大纲 - concept
自注意力
让同一序列产生 query、key、value,使每个位置按内容动态聚合其他位置。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲 - concept
迭代线性求解器
通过残差更新逐步逼近大型稀疏线性系统的解,并用谱性质判断收敛。
computer-science · scientific-computing · 难度 4 · 详细大纲 - concept
零空间与解空间
求解映射到零向量的全部输入,并用秩-零化度关系连接自由度。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
高斯消元
通过初等行变换把线性方程组化为阶梯形,并稳定地回代求解。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - experiment
注意力权重矩阵
比较 token 间分数、softmax 权重和因果掩码的作用。
machine-learning - learning-path
线性代数基础
从向量和矩阵建立线性空间语言,进入方程组、特征结构与低秩分解。