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概率公理与事件
用样本空间、事件集合和可列可加测度建立概率推理的基本规则。
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组合概率
通过排列、组合和计数原理计算有限等可能样本空间中的事件概率。
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条件概率与独立性
在已知事件发生的条件下更新样本空间,并区分独立、互斥和条件独立。
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Bayes 定理
将条件概率方向反转,用先验、似然和证据计算后验概率。
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随机变量与概率分布:从随机结果到可计算的数值规律
把随机变量定义为样本空间上的可测函数,统一理解分布函数、概率质量函数、概率密度、支持集与变量变换。
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离散概率分布
分析 Bernoulli、二项、几何和 Poisson 分布的参数、支持集与典型生成机制。
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连续概率分布
用概率密度和积分研究均匀、正态、指数等连续分布及其参数。
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联合分布与条件分布
描述多个随机变量的共同变化,并由边缘化和条件化提取局部规律。
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期望、方差与协方差:分布的中心、尺度和共同变化
从分布定义期望和二阶矩,推导方差与协方差的运算规律,并区分独立、零协方差、相关和因果关系。
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大数定律
说明独立样本均值在适当条件下趋近总体期望,并区分弱收敛与强收敛。
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中心极限定理
解释大量独立微小贡献的标准化和为何趋近正态分布,并明确所需条件。
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抽样分布
研究统计量在重复抽样中的分布,为标准误、区间估计和检验建立基础。
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统计估计
区分点估计和区间估计,并用偏差、方差、一致性和效率评价估计量。
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最大似然估计
把观测数据在模型参数下的概率视为目标函数,并求使其最大的参数。
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贝叶斯推断
用先验和似然形成后验分布,并通过后验预测表达参数不确定性。
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置信区间
构造具有指定长期覆盖率的随机区间,并避免把覆盖率误解为参数后验概率。
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假设检验
用零假设下的统计量分布控制第一类错误,并解释 p 值、功效和多重比较。
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Markov 链
用状态转移矩阵描述无记忆随机演化,并分析平稳分布和长期行为。
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Monte Carlo 方法
通过随机采样近似期望和积分,并用方差与有效样本量评价误差。
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熵与互信息
量化随机变量的不确定性以及两个变量共享的信息,连接编码、推断和学习。
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离散随机变量的期望
\mathbb{E}[X]=\sum_x x\,p_X(x)
mathematics · probability - equation
方差
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^2]
mathematics · probability